Рассматриваются конфигурационные графы, степени вершин которых являются независимыми одинаково распределенными случайными величинами. Распределение этих величин неизвестно, за исключением того, что заданы достаточно слабые ограничения на предельное поведение вероятностей больших значений степеней. Найдены условия, при выполнении которых граф асимптотически достоверно связан при стремлении числа вершин к бесконечности. Даны оценки скорости сходимости к нулю вероятности того, что граф не связен.